Schröder-Bernstein定理

如果有单射$f:X\to Y$和单射$g:Y\to X$，那么存在着两个集合之间的双射$\varphi:X\to Y$.

证明思路:
令$h=g \circ f$
记$X'=X-g(Y)$,$A_{0}=X'$,$A_{1}=h(A_{0})$,$A_{2}=h(A_{1})$,$\dots$,$A_{n+1}=h(A_{n})$
$A=\bigcup\limits_{n\geq 0 }A_{n}$
考虑$X$的子集的集合$\mathcal{F}=\{U\subset X\mid X' \cup h(U) \subset U\}$,$A$是$\mathcal{F}$所有元素的交集，且有$X' \cup h(A) =A$.
定义$\varphi = \begin{cases}f(x)&x \in A\\g^{-1}(x)&x \notin A\end{cases}$
便得到了$X\to Y$的双射.